Как теория Пуанкаре объясняет мир?

Гипотеза Пуанкаре, а ныне теорема Пуанкаре — Перельмана, — это фундаментальное наблюдение в топологии. С точки зрения человека, она описывает мир, в котором мы живем. Но что мы знаем о нашем мире? Во-первых, он трехмерный, а значит, из любой фиксированной точки мы можем провести три оси, которые будут перпендикулярны друг другу попарно, а четвертую ось уже невозможно провести. Четвертая ось уходит в новые измерения, поэтому она не видна. Во-вторых, в районе любой точки, в которой ты находишься, мир устроен одинаково, и обзор с каждой точки похож на обзор с другой. Локально он устроен как внутренность футбольного мяча. Если говорить научным языком, то наш мир является гладким трехмерным многообразием.

Следующий вопрос — о бесконечности нашего мира. Если у нас есть возможность добраться до любой точки во Вселенной за конечное время, даже за миллиарды миллиардов лет, то мир не бесконечен. Я не очень разбираюсь в современной космологии, поэтому лучше уточнять у экспертов, но, мне кажется, на сегодняшний день ученые говорят о конечной Вселенной. Она огромна, но конечна. Если ты выбрал наугад две точки в нашей Вселенной, то между ними существует путь, измеряющийся конечной длиной в километрах, и его можно преодолеть за конкретное время.

Третьим условием служит тонкое свойство нашего мира, о котором рассказывают путем аналогий с осязаемыми объектами, — односвязность. Рассмотрим поверхность мяча. По аналогии с нашим миром поверхность мяча можно назвать гладким двумерным многообразием. Это значит, что в каждой точке на поверхности мяча я могу провести только две прямые, которые будут друг другу перпендикулярны, поэтому третье направление будет покидать эту поверхность. Для плоского разумного существа, которое может жить на поверхности мяча, третье направление будет неосязаемым. Это существо сказало бы, что его мир двумерный, потому что есть две прямые, перпендикулярные друг другу, которые оно в каждой точке может нарисовать. Поверхность мяча обладает всеми остальными свойствами. Поверхность мяча устроена одинаково для любой точки, и она конечна.

Теперь разберемся с односвязностью. Представим, что на поверхность мяча я бросил кусок нитки. Неважно, где она находится — по диаметру или просто в окрестности, даже если она с самопересечениями. Я всегда могу стянуть ее в одну точку или убрать с мяча. Если рассмотреть поверхность бублика, в математике — тор. Все предыдущее верно и про него тоже. Он конечен, и его поверхность устроена одинаково для любой точки. Если на этом двумерном бублике будет жить очень маленький организм, то он не заметит изогнутости, и для него это будет похоже на сферу. Изогнутости — артефакт того, что бублик вложен в наш трехмерный мир. В четырехмерном мире он мог быть неизогнутым. Он бы имел другие свойства, но все равно был бы двумерным. Бублик отличается от сферы тем, что вокруг него можно через дырочку завязать нитку. Эту нитку, как ее ни шевели, снять с бублика невозможно. Я могу взять за эту веревочку, вот так поднять и подержать бублик. Это называется «неодносвязность». Существуют нитки, которые снять нельзя. На сфере таких ниток нет, а на бублике есть.

Обратимся к истории вопроса. Эту идею о поверхности разработал Леонард Эйлер. Он первый показал, как одной математической формулой отличить поверхность мяча от поверхности бублика, поэтому его считают основателем топологии. Он рисовал на сфере любой многогранник и считал количество вершин, ребер и граней. И В-Р+Г всегда равно 2. Если сделать то же самое на поверхности бублика, то В-Р+Г равно 0. В — количество вершин на картинке, Р — количество ребер на картинке, а Г — количество граней на картинке. Это инвариант. Какую бы картинку ты ни нарисовал, это число всегда будет одинаковым на сфере и всегда будет равно 2, всегда одинаковым на торе и всегда равно 0. Это доказательство того, что эти две поверхности не могут быть перетянуты друг в друга без разрывов и склеивания. Если перетянуть эти фигуры друг в друга, тогда в процессе непрерывной перетяжки у нас же не может меняться число вершин, ребер и граней. Неизменное число граней — противоречие.

Для многих остается непонятным, зачем сравнивать фигуры, которые очевидно различаются. Я не знаю, что отвечал Леонард Эйлер, но я отвечу, что нам это очевидно в двумерной ситуации, а в трехмерной, четырехмерной и других это абсолютно неочевидно. Если мы хотим представить фигуру, похожую на трехмерный тор, то нам необходимо развивать в себе топологическую интуицию, а без этого утверждать нельзя. Если мы хотим доказать очевидное без топологической интуиции, нам необходимы строгие математические формулы, которые будут работать там, где мы не видим. В этом и был вопрос гипотезы Пуанкаре. Со времен Эйлера было понятно, а затем и доказано, что существует семейство двумерных поверхностей. Дискретное семейство, которое начинается со сферы и продолжается бубликами с дырочками. Потом из двух бубликов создается кренделек с двумя дырками. Затем еще одну такую подрисовать.

Это полная классификация двумерных конечных поверхностей — компактных двумерных многообразий. Если наложить дополнительное условие односвязности — веревочку, которую мы завяжем, всегда можно снять, — то уйдут бублики и крендельки, потому что с них нитку нельзя снять. Остается только сфера, поэтому здесь применяется гипотеза Пуанкаре — математическая гипотеза о том, что любое двумерное, ориентируемое, компактное многообразие является сферой. Для трехмерных поверхностей гипотеза Пуанкаре идентична: любое трехмерное многообразие компактное, односвязное обязано быть трехмерной сферой, которая похожа на четырехмерный мяч. Существует непрерывное перетаскивание этой поверхности в множество, без склеиваний и разрывов. Оно задается одним уравнением: x²+y²+z²+t²=1 в четырехмерном пространстве.

Поверить в очевидность всех условий на примере нашей Вселенной легко, не считая односвязности. Разберемся с односвязностью с помощью космического корабля с веревкой, который запустили в долгий полет, а затем вернули в исходную точку. Мы завяжем нитку от корабля, но потом сможем ее стянуть. У нас нет полной уверенности, что корабль не обернул невидимую четырехмерную дыру, но если мы поверим во все условия, то выяснится, что мы живем на поверхности трехмерной сферы — на границе четырехмерного шара. Живем на простом уравнении. Эйлера считают основоположником идей о топологии, а Пуанкаре развил эти идеи до состояния точной науки, которая находится в сердце всех математических знаний. Если математика считается сердцем всех естественно-научных знаний, то ядром для математики служит топология. Гипотеза Пуанкаре стала сложнейшей теоремой, которую доказали только через 102 года, после того как в 1900 году ее сформулировал Анри Пуанкаре. В 2002 году российский ученый Григорий Перельман полностью доказал ее. Доказательство чрезвычайно сложное, не случайно это относят именно к топологии. Такой рассказ о гипотезе Пуанкаре, а ныне о теореме Пуанкаре — Перельмана.